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Dossier

Les moyens de calcul du comptable antique

The ways of calculation of the Ancient Accountant
Los medios de cálculo del contador antiguo (mundo griego, mundo romano)
Alain Schärlig

Résumés

La numération à disposition du comptable antique, grec ou romain, ne lui permettait pas d’additionner ou de soustraire comme nous, par écrit. L’un et l’autre devaient donc recourir à un abaque, et représenter leurs nombres au moyen de cailloux ; ou encore, pour le romain, utiliser une calculette en bronze. On montre ici comment ces instruments permettaient de réaliser une addition ; et on donne quelques hypothèses pour les trois autres opérations.

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Texte intégral

1Qu’il soit grec ou romain, le comptable antique devait faire face à un problème qui lui compliquait terriblement la tâche : ses deux numérations écrites (pour le Grec), ou sa numération écrite (pour le Romain), ne lui permettaient pas d’effectuer un calcul écrit comme nous le réalisons avec nos chiffres indo-arabes. Il devait donc recourir à un artifice, dont nous serions très heureux de trouver la description dans la littérature. Mais là surgit un autre problème : du fait du coût du support, et de l’effort que demandait la copie d’un nouvel exemplaire, les auteurs limitaient leur texte au strict nécessaire ; et pour cette raison, on n’écrivait pas ce que tout le monde savait. Or tout le monde savait effectuer un calcul, au moins dans les classes instruites, puisque les enfants l’apprenaient à l’école. Il n’y a donc pas de description disponible.
Pour savoir néanmoins en quoi consistait cet artifice – ou à défaut nous en faire une idée – il nous faut donc nous contenter d’indices, et les exploiter le mieux possible. Certains nous sont fournis par la littérature, d’autres par l’archéologie. Mais dans les deux civilisations, ce ne sont pas les mêmes indices qui nous apportent les informations les plus pertinentes. Et il nous faut donc traiter ces civilisations l’une après l’autre.

Chez les Grecs

2Les deux numérations du comptable grec

3Rappelons d’abord les deux numérations écrites dont disposait un Grec qui voulait noter des nombres. La numération acrophonique recourait, comme son nom l’indique, à des chiffres construits au moyen de l’initiale de chaque nombre de base (fig. 1.1).

Fig. 1.1 : Les chiffres de la numération acrophonique. Δ par exemple, l’initiale de Δέκa, représente 10.

4On remarque la présence dans la série de chiffres quinaires, qui s’insèrent entre ceux de notre numération décimale. Ils répondent à un phénomène physiologique, le « pas plus de quatre », qui veut que l’œil humain ne peut pas dénombrer d’un coup d’œil plus de quatre objets.
On combinait ces chiffres en une addition, comme l’ont fait plus tard les Romains, qui ont copié la structure de leur numération sur celle des Grecs (fig. 1.2).

Fig. 1.2 : Le nombre 6932 écrit en numération acrophonique. Il est exprimé par l’addition des chiffres 5000 + 1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1. On imagine ce que cela aurait donné sans les quinaires, avec six fois le chiffre 1000 et neuf fois le chiffre 100 : il n’aurait pas été possible de dénombrer ces chiffres d’un coup d’œil.

5L’autre numération, dite alphabétique, était aussi additive ; mais elle recourait à toutes les lettres de l’alphabet, auxquelles il avait même fallu en ajouter trois archaïques, parce que le système nécessitait 27 lettres et que l’alphabet grec n’en comportait que 24 (fig. 1.3).

Fig. 1.3 : Les chiffres de la numération alphabétique, constitués de tout l’alphabet grec et de trois lettres archaïques (Ϝ, Ϙ et ϡ). Ils sont reproduits ici avec des pleins et des déliés, parce que ce sont les majuscules des caractères Times de l’ordinateur. Mais il faut les « voir » en traits pleins, sans fioritures, tels que nous en avons dessinés aux figures 1.1 et 1.2.

6Ici aussi, les chiffres – qu’on préfère appeler dans ce cas des lettres numérales – étaient combinés entre eux, avec l’avantage de fournir une notation plus concise ; comme par exemple  pour représenter 444. Mais on remarque aussi, avec cet exemple, à quel point cette numération était peu parlante : alors qu’il y a dans ce nombre autant de centaines que de dizaines et d’unités, soit quatre dans chaque ordre, cela ne se « voit » absolument pas.

7Les indices dans la littérature grecque

  • 1 Histoires, II 36.

8Ce qu’on peut trouver dans la littérature, ce ne sont que des allusions, puisqu’on n’y décrit pas le travail du calculateur. Quand Hérodote1, par exemple, décrit la curieuse manière de « calculer avec des ψφοι [psèphoi]» des Egyptiens (de droite à gauche), il s’appuie sur une comparaison avec la manière grecque (de gauche à droite) pour mieux se faire comprendre. Or notre bénéfice dans l’affaire, ce n’est pas de savoir comment faisaient les Egyptiens : c’est que nous apprenons que les Grecs calculaient avec des ψφοι, et cela de gauche à droite.

9Qu’est-ce que ces ψφοι ? Les dictionnaires donnent à choisir entre « coquillages » et « petits cailloux ». Une expérimentation sur une surface de marbre donne vite la réponse : des coquillages sont difficiles à saisir, et tiennent mal en place ; alors que de petits galets conviennent parfaitement. C’est donc bien de petits cailloux qu’il s’agit.

  • 2 Histoires, V 26,13.

10Ou encore quand Polybe2, pour illustrer la situation peu enviable de certains courtisans, les compare aux ψφοι sur un βάκιον (un abaque), et dit que « selon la volonté du calculateur, ils valent à un moment un chalkous et à l’instant d’après un talent », ce ne sont pas les courtisans qui nous intéressent : nous apprenons que sur l’abaque grec, le même ψφοι pouvait changer de valeur instantanément ; d’où l’on conclut que les ψφοι tiraient leur valeur de l’endroit où les plaçait le calculateur.

11Les pièces archéologiques

  • 3 IG II2777.
  • 4 IG XII 7 282.

12Les musées grecs sont la seconde source d’information. On y trouve une trentaine d’abaques, dont le plus célèbre – celui de Salamine3 – est fixé sur un mur du Musée épigraphique à Athènes, non loin de l’entrée. Ces pièces nous permettent d’imaginer ce qu’était un abaque en cours d’utilisation : les unes ne portent que des chiffres, les autres ont des lignes avec parfois des chiffres sur les bords, et seuls les deux fragments d’un petit abaque trouvé à Minoa4 portent à la fois des lignes, et des chiffres gravés en tête des colonnes. On explique l’absence de lignes, ou de chiffres dans les colonnes, par le fait que ces éléments étaient peints, comme on sait maintenant que l’étaient les statues de marbre.

Fig. 1.4 : L’abaque de Salamine, qui comporte des lignes d’une part et des séries de chiffres dans les bords d’autre part. Sa longueur est de 112 centimètres.

  • 5 IG II2778.

Fig. 1.5 : L’abaque de l’Acropole d’Athènes5, qui ne comporte qu’une série de chiffres. A droite du Π, le I avec une petite barre figure la drachme ; plus à droite l’obole, la demi obole, et le chalque.

Sa largeur est de 76 centimètres.

Fig. 1.6 : Le petit abaque de Minoa, qui nous montre comment les chiffres figuraient en tête des colonnes. A gauche 1000, 500 et 100 ; et à droite 1 drachme, 1 obole (avec une autre représentation que sur l’abaque de l’Acropole) et une demi obole. La largeur de la reconstitution est de 31 centimètres.

13L’interprétation

14Sur la base d’indices de ce genre – il y en a beaucoup plus,  et nous n’en donnons ici que quelques exemples – il est possible de se faire une idée précise de ce qu’était un abaque grec, et de la manière dont un calculateur pouvait s’en servir. Les combinaisons possibles des éléments disponibles sont nombreuses ; aussi nous limitons-nous ici, pour en donner une idée, aux abaques pourvus de chiffres acrophoniques, et à la partie de ceux-ci consacrée aux calculs en drachmes (les calculs en oboles répondent aux mêmes principes, avec des variantes sur le contenu des colonnes). Dans ce cas, on peut envisager deux types d’abaques : à colonnes alternées, et à colonnes décimales (fig. 1.7).

Fig. 1.7 : Les deux types d’abaques, à colonnes alternées à gauche, et à colonnes décimales à droite. En haut avec la traduction des colonnes, et celle des emplacements en tête des colonnes pour l’abaque décimal ; et en bas avec des cailloux représentant le nombre 3749.

15Une addition en colonnes alternées

  • 6 Nous sautons ici quelques étapes : elles se trouvent en totalité dans Alain Schärlig, Compter du bo (...)

16Pour donner un exemple des manipulations de cailloux, auxquelles devait se livrer un comptable grec pour réaliser une addition, nous restreignons une fois de plus le choix, et nous envisageons un abaque à colonnes alternées. Il s’agit d’y additionner 2187 et 28386.

17De ce qui précède, on peut conclure deux choses : d’abord que faire une addition était possible pour un comptable grec, malgré une numération totalement inadéquate pour le calcul – on verrait qu’il en allait de même, en pire, avec la numération alphabétique – ; ensuite que cela demandait une certaine attention, mais pas plus que notre addition moderne. Quant à la vitesse, nous pouvons dire par expérience – tant avec des adultes qu’avec des enfants – qu’après un bref apprentissage elle est du même ordre que ce que nous faisons par écrit… quand nous n’avons pas de calculette sous la main !

18La soustraction

19Comme elle est le pendant de l’addition, il n’est pas difficile d’imaginer comment elle se déroulait. Le plus grand nombre était représenté en haut de l’abaque, celui qu’il s’agissait de soustraire était représenté en dessous, et chaque caillou de ce dernier annulait, dans sa colonne, un caillou du nombre du haut ; cette annulation se réalisait en retirant les deux cailloux. Et quand il y avait moins de cailloux en haut qu’en bas dans une colonne, on procédait à l’inverse de la réduction : on transformait un caillou du nombre du haut, pris dans la colonne immédiatement à gauche, en le « traduisant » dans la colonne où il en manquait. On retirait par exemple un caillou de la colonne cinq cents et on plaçait l’équivalent, soit cinq cailloux, dans la colonne cent.

20La multiplication

  • 7 Topiques VIII 14.
  • 8 Jacques Chamay et Alain Schärlig, « Représentation d’une table de calcul », Antike Kunst, Bâle, 41e(...)

21Au contraire des deux opérations précédentes, on ne peut faire ici que de prudentes hypothèses, tant on est à court d’indices. Le seul point d’appui solide, fondé sur deux indices, est que les Grecs apprenaient la table de multiplication : elle est mentionnée par Aristote7, et la stèle funéraire d’un professeur de mathématiques, conservée à Genève8, comporte un tableau carré que nous appelons « table de Pythagore ».

22A partir de là, on peut imaginer qu’on calculait des produits partiels, comme nous le faisons, et qu’ils étaient ensuite additionnés sur l’abaque. La seule trace qu’on ait de cette pratique figure dans une introduction alexandrine – du 3e ou du 2e siècle avant notre ère – au Discours contre Androtion de Démosthène.

  • 9 Un exemple de cette multiplication, et de la division fondée sur les mêmes principes, peut être tro (...)

23Autre indice tout aussi ténu : une scholie au Charmide de Platon affirme que les Grecs connaissaient « les méthodes grecque et égyptienne de la multiplication et de la division ». La manière grecque serait celle qui vient d’être évoquée, et l’égyptienne serait celle qu’on trouve notamment dans le papyrus Rhind, et qui est fondée sur une décomposition d’un des facteurs en puissances de 2 et sur les doublements successifs de l’autre facteur9.

24La division

25On en sait encore moins de la division. Et il ne faut pas oublier qu’il est aussi possible qu’elle ait été pratiquée par approximations successives : on estime un résultat, on fait la preuve par multiplication, on voit si l’on est trop court ou trop long, on corrige, on recommence, et ainsi de suite.

  • 10 Jules Baillet, Le papyrus mathématique d’Akhmim, in Mémoires publiés par les membres de la Mission (...)

26Pour le procédé « à notre manière », qui serait le pendant de la multiplication grecque envisagée ci-dessus, on ne connaît pas d’exemple avant la fin du 4e siècle de notre ère, avec une division en sexagésimal de Théon d’Alexandrie. Et pour la division « à l’égyptienne », conforme à l’allusion du scholiaste du Charmide, on n’en connaît qu’un exemple dans un texte grec ; mais il s’agit d’un papyrus trouvé en Haute-Egypte10, et datant au plus tôt du 8e siècle de notre ère, ce qui est vraiment tard pour nous.

27Autant dire qu’au contraire de l’addition – et par entraînement de la soustraction – on n’est pas du tout au clair pour la multiplication et la division chez les anciens Grecs. Sauf qu’on est certain qu’ils les pratiquaient, comme le montre l’article de Véronique Chankowski dans cette même livraison.

Chez les Romains

28La numération du comptable romain

29Elle est bien connue, puisqu’elle est encore utilisée de nos jours pour numéroter des pages ou des siècles. Mais il vaut quand même la peine de s’y arrêter. Car puisque le lecteur peut facilement déchiffrer DCCCLXXVI et CCCLXXXVII, il se laissera certainement persuader qu’il n’est pas possible d’additionner par écrit deux nombres en chiffres romains. Et comme la structure de ces chiffres est la même que celle des chiffres grecs acrophoniques, la démonstration vaudra pour l’une et l’autre civilisation. On peut d’autre part se dire que cette imitation des Grecs par les Romains ne s’est certainement pas limitée à la numération. Et qu’une partie de ce que nous avons trouvé pour les Grecs pourrait bien apparaître en filigrane dans ce que nous supposerons pour les Romains.

30Les indices dans la littérature latine

31Ici ce ne sont plus des allusions qui nous montrent la voie, mais le vocabulaire. Les petits cailloux étaient des calculi. Ce mot ayant donné notre mot calcul, cela pourrait suffire pour affirmer que les Romains calculaient au moyen de cailloux ; donc certainement plus ou moins comme les Grecs. Mais pour accentuer la démonstration, on ajoutera le verbe calculos ponere (poser des petits cailloux) pour « faire un calcul », ou son synonyme calculos subducere (pousser des cailloux par-dessous) ; ou encore aliquem ad calculos vocare (appeler quelqu’un aux cailloux) pour inviter un partenaire à régler un compte.

32Les pièces archéologiques

33Il n’est pas impossible que les Romains aient trouvé les cailloux peu pratiques, et les aient remplacés petit à petit par des jetons. Le fait est qu’on trouve beaucoup de jetons dans les fouilles, des jetons auxquels les archéologues attribuent le rôle d’objet de jeu sans que rien ne leur permette de le prouver. Quant aux abaques, on n’en a pas retrouvé qui ressemblent de près ou de loin à ceux des Grecs ; on en déduit que ceux des Romains étaient peut-être en bois.
Mais on connaît en revanche quatre calculettes en bronze, ainsi que deux dessins de tels objets – perdus depuis lors – dans des livres du 17e siècle, qui sont riches d’enseignements. Il suffit en effet de les examiner pour constater qu’il s’agit d’abaques portatifs ! (fig. 2.1).
Ces objets ressemblent curieusement au boulier japonais, ce qui montre qu’en matière de calcul manuel les possibilités de l’être humain sont peu nombreuses. La disposition des éléments constitutifs d’un nombre (unités, dizaines etc.) est la même que sur l’abaque grec à colonnes décimales, de droite à gauche ; mais ici les colonnes sont remplacées par des rainures, dans lesquels coulissent des boutons. Et dans chaque rainure, les boutons du bas sont « unitaires », et permettent de représenter de 1 à 4 ; et celui du haut est « quinaire », et permet de représenter 5. Il faut pour cela qu’ils soient « actifs », c’est-à-dire glissés vers la ligne centrale de l’appareil, où sont gravés les signes indiquant la valeur des rainures.

34On voit tout de suite que ces instruments présentent une difficulté supplémentaire par rapport à l’abaque grec auquel ils ressemblent. Sur celui-ci, au cours d’une addition, il est possible de se trouver momentanément avec plus de quatre cailloux dans une colonne, ou plus d’un en position supérieure. C’est une situation de surnombre, qui conduit sans problème à des réductions comme on l’a vu. Or ici ce n’est pas possible : il faut anticiper, ce qui va nécessiter une explication d’ici peu.

  • 11 Au Cabinet des Médailles de la Bibliothèque nationale.

Fig. 2.1 : En haut la calculette conservée à Paris11, en mauvais état ; et au-dessous sa reconstitution par Max Rüfenacht, à l’époque étudiant de l’Université de Berne (collection Rudolf Fellmann). La disposition des boutons est celle de l’abaque grec à colonnes décimales, et les chiffres en tête des colonnes indiquent la valeur de celles-ci : de droite à gauche des fractions de l’once, puis l’once (il en fallait 12 pour faire un as, et le bouton supérieur vaut donc 6), puis 1 as, 10 as, et ainsi de suite. La longueur des deux objets est de 12 centimètres.

Le montant représenté sur celui du bas est 625’047 as, 8 onces et ½ once.

35On tire de ces calculettes que les abaques à calculos – les grands – étaient peut-être du type décimal ; mais si l’on s’intéresse au comptable romain, il n’est pas important de tirer cette question au clair, car les opérations sur les deux types sont très semblables.

  • 12 Conservé au Rheinisches Landesmuseum Trier ; pour plus de détails, voir Alain Schärlig, « Un bas-re (...)

36Un autre indice est constitué par les bas-reliefs où l’on voit quelqu’un qui effectue un calcul. Celui de Trèves12 est à ce point de vue remarquable, car il confirme que les Romains avaient de grands abaques (au moins au 3e siècle de notre ère), et que les calculos y avaient cédé la place à des jetons (fig. 2.2).

Fig. 2.2 : Le bas-relief de Trèves : une scène de calcul, peut-être un fermier qui rend des comptes, avec un abaque certainement en bois (en pierre il serait trop lourd), et des jetons parfaitement identifiables.

37Une addition sur la calculette

38Sur le grand abaque romain, la manipulation des calculi ne pouvait guère différer de ce qu’elle était chez les Grecs. Il nous semble donc plus intéressant de montrer comment se faisait un calcul sur l’abaque portatif.

39La calculette exhumée dans le Val d’Aoste – la seule extraite d’une fouille moderne – l’a été en compagnie d’un matériel destiné à l’écriture ; on peut donc penser qu’elle appartenait à un comptable semblable à ceux auxquels nous nous intéressons. Regardons alors comment il est vraisemblable que celui-ci s’y prenait, en nous inspirant de la pratique du boulier japonais. Comme on va le voir, cela demandait une grande attention.

40Traitons d’abord, dans l’abstrait, de l’anticipation. Imaginons que dans une colonne figure la quantité 7 (par exemple dans les dizaines, comme le 7 de 378) ; et que le nombre qu’on veut additionner comporte dans cet ordre un 4 (par exemple le 4 de 641). Pour nous, modernes, il y aura une retenue de 1 qu’on reportera dans la colonne à gauche ; et pour le Grec, il y avait surnombre d’abord, puis réduction ; mais ici on ne peut pas faire comme le Grec : on ne peut pas ajouter 4 dans la colonne, qui ne tolère pas le surnombre. Il faut donc anticiper (fig. 2.3), c’est-à-dire placer la retenue en premier, ce qui est trop ; et corriger ensuite, « comme quand on rend la monnaie ».

Fig. 2.3 : La situation de départ est à gauche ; les manipulations et la situation finale sont à droite, où les boutons qui viennent d’être déplacés sont en gris. Pour ajouter quatre dans la rainure A qui porte déjà sept (ce sont par exemple des dizaines), on active un bouton unitaire de la rainure B (qui serait alors celle des centaines), ce qui vaut dix de la rainure A ; c’est la retenue, placée par anticipation ; puis on corrige : on soustrait dans A le complément de quatre vis-à-vis de dix, c’est-à-dire ce qu’on a ajouté en trop, en l’occurrence six.

41Le résultat est bien conforme : on avait 37, on a ajouté 4, on a maintenant 41.

  • 13 Comme la précédente, elle est tirée de Alain Schärlig, Compter du bout des doigts…, op. cit., p. 90 (...)

42Cela posé, lançons-nous dans une addition13. Il s’agit d’additionner 6749 as, 7 onces et ¼ d’once (un sicilicus) d’une part, et 2562 as, 8 onces et ⅓ d’once (une duella) d’autre part.

43En conclusion

44Cet article aura rappelé, à ceux qui l’avaient oublié ou qui l’ignoraient, que les Anciens ne pouvaient pas effectuer un calcul par écrit, car leurs numérations ne le permettaient pas. Et il aura montré ensuite – au moins c’est notre espoir – que les comptables d’autrefois pouvaient néanmoins faire leur travail, et effectuer un calcul. Cela d’une autre manière que nous, mais avec un peu d’habitude aussi vite que nous.

45Pour en savoir plus :

46(1) Alain Schärlig, Compter avec des cailloux. Le calcul élémentaire sur l’abaque chez les anciens Grecs, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne, 2e édition revue et corrigée, 2001, 339 p. (Prix Zappas 2003).

47(2) Alain Schärlig, Compter du bout des doigts. Cailloux, jetons et bouliers, de Périclès à nos jours, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne, 2006, 294 p.

48(3) Jérôme Gavin et Alain Schärlig, Longtemps avant l’algèbre, la fausse position, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne, 2012, 204 p.

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Notes

1 Histoires, II 36.

2 Histoires, V 26,13.

3 IG II2777.

4 IG XII 7 282.

5 IG II2778.

6 Nous sautons ici quelques étapes : elles se trouvent en totalité dans Alain Schärlig, Compter du bout des doigts. Cailloux, jetons et bouliers, de Périclès à nos jours, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne, 2006, p. 51-53.

7 Topiques VIII 14.

8 Jacques Chamay et Alain Schärlig, « Représentation d’une table de calcul », Antike Kunst, Bâle, 41e année, 1998, pp. 52-55 et planche 11 ; et [1] pp. 99-102.

9 Un exemple de cette multiplication, et de la division fondée sur les mêmes principes, peut être trouvé dans [1] pp. 26-28 et dans [3] chapitre 2.

10 Jules Baillet, Le papyrus mathématique d’Akhmim, in Mémoires publiés par les membres de la Mission archéologique française au Caire­, tome 9, fascicule 1, Leroux Paris, 1892, p. 72.

11 Au Cabinet des Médailles de la Bibliothèque nationale.

12 Conservé au Rheinisches Landesmuseum Trier ; pour plus de détails, voir Alain Schärlig, « Un bas-relief à Trèves : ces Romains calculent, ils ne jouent pas ! », Antike Kunst, Bâle, 47e année, 2004, pp. 63-69 et planche 9.

13 Comme la précédente, elle est tirée de Alain Schärlig, Compter du bout des doigts…, op. cit., p. 90-91.

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Table des illustrations

Légende Fig. 1.1 : Les chiffres de la numération acrophonique. Δ par exemple, l’initiale de Δέκa, représente 10.
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Légende Fig. 1.2 : Le nombre 6932 écrit en numération acrophonique. Il est exprimé par l’addition des chiffres 5000 + 1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1. On imagine ce que cela aurait donné sans les quinaires, avec six fois le chiffre 1000 et neuf fois le chiffre 100 : il n’aurait pas été possible de dénombrer ces chiffres d’un coup d’œil.
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Légende Fig. 1.3 : Les chiffres de la numération alphabétique, constitués de tout l’alphabet grec et de trois lettres archaïques (Ϝ, Ϙ et ϡ). Ils sont reproduits ici avec des pleins et des déliés, parce que ce sont les majuscules des caractères Times de l’ordinateur. Mais il faut les « voir » en traits pleins, sans fioritures, tels que nous en avons dessinés aux figures 1.1 et 1.2.
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Légende Fig. 1.4 : L’abaque de Salamine, qui comporte des lignes d’une part et des séries de chiffres dans les bords d’autre part. Sa longueur est de 112 centimètres.
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Légende Fig. 1.5 : L’abaque de l’Acropole d’Athènes5, qui ne comporte qu’une série de chiffres. A droite du Π, le I avec une petite barre figure la drachme ; plus à droite l’obole, la demi obole, et le chalque.
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Légende Fig. 1.6 : Le petit abaque de Minoa, qui nous montre comment les chiffres figuraient en tête des colonnes. A gauche 1000, 500 et 100 ; et à droite 1 drachme, 1 obole (avec une autre représentation que sur l’abaque de l’Acropole) et une demi obole. La largeur de la reconstitution est de 31 centimètres.
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Légende Fig. 1.7 : Les deux types d’abaques, à colonnes alternées à gauche, et à colonnes décimales à droite. En haut avec la traduction des colonnes, et celle des emplacements en tête des colonnes pour l’abaque décimal ; et en bas avec des cailloux représentant le nombre 3749.
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Légende Fig. 2.1 : En haut la calculette conservée à Paris11, en mauvais état ; et au-dessous sa reconstitution par Max Rüfenacht, à l’époque étudiant de l’Université de Berne (collection Rudolf Fellmann). La disposition des boutons est celle de l’abaque grec à colonnes décimales, et les chiffres en tête des colonnes indiquent la valeur de celles-ci : de droite à gauche des fractions de l’once, puis l’once (il en fallait 12 pour faire un as, et le bouton supérieur vaut donc 6), puis 1 as, 10 as, et ainsi de suite. La longueur des deux objets est de 12 centimètres.
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Légende Fig. 2.2 : Le bas-relief de Trèves : une scène de calcul, peut-être un fermier qui rend des comptes, avec un abaque certainement en bois (en pierre il serait trop lourd), et des jetons parfaitement identifiables.
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Légende Fig. 2.3 : La situation de départ est à gauche ; les manipulations et la situation finale sont à droite, où les boutons qui viennent d’être déplacés sont en gris. Pour ajouter quatre dans la rainure A qui porte déjà sept (ce sont par exemple des dizaines), on active un bouton unitaire de la rainure B (qui serait alors celle des centaines), ce qui vaut dix de la rainure A ; c’est la retenue, placée par anticipation ; puis on corrige : on soustrait dans A le complément de quatre vis-à-vis de dix, c’est-à-dire ce qu’on a ajouté en trop, en l’occurrence six.
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Pour citer cet article

Référence électronique

Alain Schärlig, « Les moyens de calcul du comptable antique », Comptabilités [En ligne], 6 | 2014, mis en ligne le 15 décembre 2014, consulté le 24 février 2017. URL : http://comptabilites.revues.org/1491

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